Систематические и случайные погрешности, их происхождение,

Физика — СПбГПМУ, Стоматологический факультет

Общее понятие погрешности

Любое измерение физической величины не может быть абсолютно точным. Отклонение результата измерения от истинного значения называется погрешностью измерения. По характеру и причинам возникновения погрешности делят на два принципиально разных класса: систематические и случайные.

Систематические погрешности

Происхождение

Систематические погрешности возникают из-за факторов, действующих постоянно или закономерно изменяющихся в процессе измерения. Основные источники:

• Инструментальные погрешности — обусловлены конструкцией и качеством изготовления средства измерения:
• Несовершенство градуировки шкалы прибора.
• Неправильная калибровка (смещение нуля).
• Дрейф характеристик элементов схемы (например, изменение сопротивления резисторов со временем).
• Методические погрешности — связаны с несовершенством метода измерения или упрощениями в расчётной модели:
• Игнорирование влияния самого прибора на измеряемый процесс (например, подключение вольтметра вносит ток, изменяющий напряжение в цепи).
• Использование приближённых формул, не учитывающих все факторы (например, расчёт скорости кровотока по упрощённой формуле Пуазёйля без учёта турбулентности).
• Субъективные погрешности — вызваны индивидуальными особенностями экспериментатора:
• Запаздывание реакции оператора при включении секундомера.
• Параллакс — ошибка при считывании показаний стрелочного прибора с неверного ракурса.
• Внешние влияющие факторы — постоянные или закономерно меняющиеся условия среды:
• Температура, влажность, атмосферное давление, внешние электромагнитные поля.

Свойства

• Постоянство знака и величины — в одинаковых условиях измерения систематическая погрешность повторяется с одним знаком (всегда завышает или всегда занижает результат).
• Предсказуемость — её можно рассчитать или оценить теоретически, зная параметры прибора и условия опыта.
• Неустранимость усреднением — увеличение числа измерений не уменьшает систематическую погрешность; она остаётся постоянной.

Способы выявления

1. Теоретический анализ — расчёт ожидаемой погрешности на основе паспортных данных прибора (класс точности) и методики измерения.

2. Калибровка по эталону — сравнение показаний данного прибора с показаниями образцового прибора (эталона) для всей шкалы измерения.

3. Экспериментальное варьирование условий — намеренное изменение отдельных факторов (температуры, положения прибора) и наблюдение за смещением результата.

4. Метод подстановки — замена измеряемой величины известной эталонной и регистрация разности показаний.

Способы уменьшения

• Коррекция — введение поправки в результат измерения. Поправка равна известной систематической погрешности, взятой с обратным знаком.
• Метод симметричных наблюдений — выполнение измерений при двух противоположных направлениях изменения влияющего фактора (например, измерение при нагревании и охлаждении).
• Исключение источника — устранение причины погрешности (например, экранирование прибора от внешних полей, стабилизация температуры).
• Использование более точных приборов — замена средства измерения на прибор более высокого класса точности.
• Регулярная поверка — периодическая калибровка прибора в метрологической службе.

> [!simple] Простыми словами:

> Систематическая погрешность — это постоянная ошибка, которую вносит прибор или метод. Например, весы, которые всегда показывают на 50 грамм больше из-за смещённой пружины. Если взвешивать много раз, эта ошибка никуда не денется, её можно только вычислить и вычесть.

> [!example] Пример:

> Тонометр со смещённым нулём показывает давление на 10 мм рт. ст. выше истинного. При измерении у 100 пациентов все результаты будут завышены на эту величину. Усреднение 100 измерений не исправит ситуацию — среднее значение останется завышенным на 10 мм рт. ст. Решение — определить поправку по эталонному манометру и вычесть её из каждого результата.

Случайные погрешности

Происхождение

Случайные погрешности обусловлены неконтролируемыми, хаотическими изменениями множества факторов, которые невозможно учесть по отдельности. Основные источники:

• Флуктуации внешних условий — беспорядочные изменения температуры, давления, влажности, вибрации.
• Нестабильность параметров прибора — тепловые шумы электронных компонентов, дробовые шумы в фотоэлектронных умножителях.
• Трение в механических узлах — непостоянство силы трения в подвижных частях прибора.
• Случайные ошибки оператора — вариации в зрительной оценке делений шкалы (например, интерполяция десятой доли деления на глаз).

Свойства

• Случайность знака и величины — в каждом измерении погрешность может быть как положительной, так и отрицательной, и иметь разный модуль.
• Взаимная компенсация — при многократных измерениях часть случайных погрешностей будет иметь положительный знак, другая часть — отрицательный, поэтому их сумма стремится к нулю.
• Зависимость от числа измерений — результирующая случайная погрешность уменьшается с ростом числа измерений пропорционально .
• Подчинение законам статистики — распределение случайных погрешностей обычно описывается нормальным законом распределения (Гаусса).

Способы выявления

1. Статистическая обработка выборки — проведение серии повторных измерений одной и той же величины в неизменных условиях. Рассчитав среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение , можно оценить разброс данных:

> [!formula] Среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение

>

>

> * — среднее арифметическое значение;

> * — результат i-го измерения;

> * — количество измерений;

> * — выборочное среднеквадратическое отклонение (характеризует разброс единичного измерения).

2. Построение гистограммы — графическое представление частоты появления различных значений. Для случайных погрешностей гистограмма стремится к симметричной колоколообразной кривой Гаусса.

3. Анализ остаточных разностей — если после учёта всех известных систематических погрешностей результаты остаются неодинаковыми, это указывает на наличие случайной составляющей.

Способы уменьшения

• Многократные измерения — увеличение числа наблюдений является основным методом. Погрешность среднего арифметического оценивается как стандартная ошибка среднего:

> [!formula] Стандартная ошибка среднего

>

> * — погрешность среднего арифметического;

> * — среднеквадратическое отклонение;

> * — количество измерений.

>

> Формула показывает: чтобы уменьшить случайную погрешность в 2 раза, нужно увеличить число измерений в 4 раза.

• Улучшение стабильности условий — термостатирование, виброизоляция, стабилизация напряжения питания.
• Использование более совершенных приборов — приборы с меньшим внутренним шумом дают меньший разброс данных.
• Автоматизация измерений — исключение субъективного фактора оператора.
• Применение фильтров — в радиотехнике и электрофизиологии (ЭКГ, ЭЭГ) используются низкочастотные фильтры для подавления высокочастотных шумов.

> [!simple] Простыми словами:

> Случайная погрешность — это "дрожание" результата. Если много раз взвешивать на одних и тех же весах идеально одинаковый предмет, показания будут немного отличаться (скажем, 100.1, 99.8, 100.0 г). Нельзя точно сказать, почему в этот раз вышло 100.1, а в следующий 99.8 — это случайность. Но если взять среднее от многих взвешиваний, оно будет гораздо ближе к истине, чем каждое отдельное измерение.

> [!example] Пример:

> Измерение артериального давления электронным тонометром у одного пациента. Первое измерение — 125/80, второе (через минуту) — 131/84, третье — 127/82. Разброс в 6 мм рт. ст. для систолического давления — это случайная погрешность, вызванная вариабельностью пульсовой волны и биологическими флуктуациями. Для получения достоверного результата рекомендуется провести 3 измерения и вычислить среднее.

Сравнительный анализ

| Характеристика | Систематическая погрешность | Случайная погрешность |

|---|---|---|

| Причина | Постоянно действующие факторы | Хаотические флуктуации |

| Зависимость от числа измерений | Не уменьшается | Уменьшается как |

| Знак | Постоянный (всегда + или -) | Разный (может быть и +, и -) |

| Обнаружение | Калибровка, теоретический расчёт | Статистическая обработка |

| Способ уменьшения | Введение поправки, калибровка, смена методики | Увеличение числа измерений |

| Форма учета | Поправка к результату | Доверительный интервал, среднеквадратическая ошибка |

> [!critical] Ключевой факт:

> Систематические погрешности делают результат смещённым (неверным в среднем), и их нельзя устранить усреднением. Случайные погрешности делают результат разбросанным, и их влияние уменьшается при увеличении числа наблюдений. При обработке экспериментальных данных обязательно оценивают и учитывают оба типа погрешностей: сначала выявляют и исключают (или вводят поправки на) систематические, затем статистически оценивают случайную составляющую.

---

Итог. Погрешность делят на систематическую (постоянную, предсказуемую, неустранимую усреднением) и случайную (хаотическую, уменьшающуюся с ростом числа измерений). Для получения точного результата необходимо выявить и скомпенсировать систематические погрешности, а случайные — минимизировать многократными измерениями и корректной статистической обработкой.

Все вопросы раздела: Подготовка к экзамену по Физике