Систематические и случайные погрешности, их происхождение, свойства, способы выявления и уменьшения.

Физика, математика — СПбГПМУ, Педиатрический факультет

Классификация погрешностей измерений

Все погрешности измерений делятся на два принципиально разных класса: систематические и случайные. Их разделение основано на характере поведения при повторных измерениях одной и той же величины.

Систематические погрешности

Определение и происхождение

Систематическая погрешность — это составляющая погрешности измерения, которая остаётся постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же физической величины.

Происхождение систематических погрешностей связано с несколькими группами факторов:

• Инструментальные (аппаратурные) погрешности — вызваны несовершенством средств измерений. Например, некалиброванная шкала тонометра, смещение нуля весов, износ деталей измерительного прибора.
• Методические погрешности — обусловлены несовершенством метода измерений или неполнотой теоретической модели. Пример: измерение объёма жидкости с помощью мерного цилиндра без учёта менска.
• Субъективные (личные) погрешности — связаны с индивидуальными особенностями экспериментатора: запаздывание или опережение при включении секундомера, параллакс при снятии показаний по шкале.
• Погрешности условий — вызваны влиянием внешних факторов (температура, давление, влажность), отличающихся от нормальных.

> [!simple] Простыми словами:

> Систематическая погрешность — это ошибка, которая повторяется от замера к замеру в одну и ту же сторону (всегда завышает или всегда занижает истинное значение). Прибор с «запаздывающим» секундомером будет показывать время с одной и той же ошибкой на каждом измерении.

Свойства

1. Постоянство или закономерность — значение погрешности не меняется или меняется по известному закону (линейно, экспоненциально) при повторных измерениях.

2. Некомпенсируемость усреднением — систематическую погрешность нельзя уменьшить увеличением числа измерений. Среднее арифметическое серии измерений будет содержать ту же систематическую ошибку.

3. Направленность — погрешность имеет определённый знак (+) или (-), смещая результат в одну сторону от истинного значения.

4. Неочевидность — систематическая погрешность часто не проявляется в разбросе данных, поэтому её сложно выявить без специальных процедур.

Способы выявления

• Измерение эталонной величины — выполнение измерений образцовой меры, значение которой известно с высокой точностью.
• Смена метода или прибора — сравнение результатов, полученных двумя разными методами или приборами.
• Измерение в разных условиях — проведение измерений при изменённых внешних условиях (например, в обратном порядке, в другое время суток).
• Статистический анализ — проверка резко отклоняющихся результатов (промахов) и анализ остаточных систематических ошибок после учёта известных поправок.

Способы уменьшения

• Калибровка и поверка — сравнение показаний прибора с эталоном и введение поправок.
• Учёт поправок — внесение в результат измерений численных значений, компенсирующих известную систематическую ошибку.
• Метод рандомизации — замена систематического фактора случайным (например, случайный выбор момента начала измерения).
• Метод замещения — замена измеряемого объекта эталоном в идентичных условиях.
• Термостатирование, экранирование — стабилизация условий измерения, исключение влияния внешних факторов.

> [!example] Пример (клинический):

> При измерении артериального давления механическим тонометром стрелка смещена относительно нуля на 2 мм рт.ст. вверх. Каждое измерение будет систематически завышать систолическое и диастолическое давление на 2 мм рт.ст. Усреднение 100 измерений не исправит эту ошибку — все 100 значений будут завышены. Выявление: измерение эталонным электронным тонометром. Уменьшение: калибровка прибора.

---

Случайные погрешности

Определение и происхождение

Случайная погрешность — это составляющая погрешности измерения, которая изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Происхождение случайных погрешностей обусловлено:

• Несовершенством органов чувств — вариации в оценке момента совпадения меток, времени реакции.
• Неконтролируемыми флуктуациями внешних условий — микроизменения температуры, вибрации, колебания напряжения в сети.
• Дискретностью (квантованием) цифровых приборов — округление до последнего разряда показаний.
• Тепловыми флуктуациями — в электронных цепях и биологических объектах (шум Джонсона).

> [!simple] Простыми словами:

> Случайная погрешность — это «дрожание» результатов: при повторении одного и того же опыта получаются немного разные цифры, которые разбросаны вокруг среднего значения то в одну, то в другую сторону, без какой-либо закономерности.

Свойства

1. Случайный характер — знак и величина погрешности непредсказуемы для каждого отдельного измерения.

2. Уменьшение при усреднении — при увеличении числа измерений среднее арифметическое стремится к истинному значению (закон больших чисел).

3. Подчинение законам статистики — распределение случайных погрешностей в большинстве случаев описывается нормальным законом распределения (Гаусса).

4. Симметричность — положительные и отрицательные погрешности равной абсолютной величины встречаются примерно с одинаковой частотой.

5. Наличие нулевого среднего — математическое ожидание случайной погрешности равно нулю.

Способы выявления

• Повторные измерения — выполнение серии измерений в идентичных условиях. Если результаты различаются — присутствует случайная составляющая.
• Статистическая обработка — расчёт среднего арифметического, стандартного отклонения, построение гистограммы распределения.
• Критерии грубых ошибок (промахов) — выявление результатов, выходящих за пределы (правило трёх сигм) с помощью критерия Шовене, Граббса или романовского.

Способы уменьшения

• Увеличение числа измерений — стандартная ошибка среднего уменьшается как , где — число наблюдений, — стандартное отклонение (среднеквадратическое отклонение).
• Повышение разрешения прибора — уменьшение цены деления шкалы.
• Автоматизация измерений — исключение субъективных факторов (человеческого глаза и реакции).
• Совершенствование методики — более точное задание условий эксперимента, использование стабилизированных источников.

> [!formula] Формула случайной погрешности результата

>

> Среднее арифметическое — точечная оценка истинного значения.

>

> Стандартная ошибка среднего — показатель точности: чем больше , тем меньше случайная погрешность.

>

> * — количество измерений;

> * — результат i-го измерения;

> * — среднее арифметическое;

> * — стандартное отклонение единичного измерения.

> [!example] Пример (клинический):

> У одного пациента 5 раз измерили уровень глюкозы в капиллярной крови одним глюкометром: 5.2, 5.0, 5.3, 5.1, 4.9 ммоль/л. Разброс данных — проявление случайной погрешности. Среднее = 5.1 ммоль/л. Если провести 50 измерений, среднее будет ближе к истинному значению (например, 5.07 ммоль/л), а стандартная ошибка уменьшится примерно в раза.

---

Итоговое сравнение систематической и случайной погрешностей

| Характеристика | Систематическая погрешность | Случайная погрешность |

| :--- | :--- | :--- |

| Поведение | Постоянная или закономерная | Непредсказуемая, флуктуирующая |

| Влияние усреднения | Не уменьшается | Уменьшается как |

| Знак | Постоянный (+, -) | Меняющийся |

| Основная причина | Дефекты прибора, метода | Мелкие флуктуации, дискретность |

| Способ выявления | Измерение эталона, смена прибора | Повторные измерения, статистика |

| Способ уменьшения | Калибровка, введение поправок | Увеличение числа измерений |

> [!critical] Ключевой факт:

> Систематическая погрешность не выявляется при повторении измерений в одинаковых условиях и не уменьшается с ростом числа наблюдений. Её устранение требует принципиально иных подходов (калибровка, смена метода), чем борьба со случайной погрешностью (многократные измерения). Обе составляющие необходимо оценивать раздельно, и результирующая погрешность записывается в виде интервала с указанием систематической и случайной компонент.

---

Итог. Любое измерение в медицине и физике содержит оба типа погрешностей. Систематическая — это постоянный сдвиг, который обнаруживают только внешней проверкой; случайная — это статистический разброс, который уменьшают, увеличивая число опытов. Правильная оценка точности результата требует учёта и того, и другого.

Все вопросы раздела: Подготовка к зачету по Физике, математике