Дифференциальное уравнение гармонических колебаний для механических систем (вывод). Общее решение дифференциального уравнения. Основные параметры колебательного процесса.

Физика, математика — ПСБГПМУ, Лечебное дело

1. Вывод дифференциального уравнения гармонических колебаний для механических систем

Рассмотрим пружинный маятник — простейшую механическую колебательную систему. Она состоит из тела массой \( m \), закреплённого на идеально упругой пружине с коэффициентом жёсткости \( k \). Предполагаем, что:

движение происходит вдоль одной прямой (оси \( x \));
сила трения и сопротивление среды отсутствуют;
деформация пружины подчиняется закону Гука для малых удлинений;
пружина невесома.

Выберем начало отсчёта (\( x = 0 \)) в положении равновесия, где сила упругости равна нулю. При смещении тела на величину \( x \) возникает сила упругости, направленная к положению равновесия:

F_{\text{упр}} = -k x

(знак «минус» показывает, что сила является возвращающей — противоположна смещению).

Запишем второй закон Ньютона для движения тела вдоль оси \( x \):

m \frac{d^2 x}{dt^2} = F_{\text{упр}} = -k x.

Разделив обе части на массу \( m \), получаем:

\frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0.

Введём обозначение:

\omega_0^2 = \frac{k}{m},

где \( \omega_0 \) — собственная циклическая частота системы (размерность \( \text{рад/с} \)). Тогда уравнение принимает канонический вид:

> [!formula] Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний

> \[

> \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0.

> \]

> Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решения описывают гармонические колебания — периодическое движение, при котором координата изменяется по закону синуса или косинуса.

> [!simple] Простыми словами:

> Уравнение говорит, что ускорение тела (вторая производная координаты) всегда направлено против смещения и пропорционально этому смещению. Чем больше жёсткость пружины и чем меньше масса, тем быстрее происходит колебание.

2. Общее решение дифференциального уравнения

Для уравнения \( \ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 \) характеристическое уравнение имеет вид \( r^2 + \omega_0^2 = 0 \), откуда \( r = \pm i \omega_0 \). Следовательно, общее решение записывается как линейная комбинация синуса и косинуса:

x(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t),

где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями (начальным смещением \( x(0) \) и начальной скоростью \( v(0) = \dot{x}(0) \)).

Чаще используют одноосцилляторную форму общего решения:

x(t) = A \cos\left(\omega_0 t + \varphi_0\right),

где:

\( A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2} \) — амплитуда колебаний (максимальное отклонение от положения равновесия);
\( \varphi_0 = \arctan\left(-\dfrac{C_2}{C_1}\right) \) — начальная фаза (угол, задающий положение системы в момент \( t=0 \)).

Эквивалентная форма записи: \( x(t) = A \sin(\omega_0 t + \varphi_0') \) (сдвиг фазы на \( \pi/2 \)).

Проверка подстановкой:

\dot{x}(t) = -A\omega_0 \sin(\omega_0 t + \varphi_0),

\ddot{x}(t) = -A\omega_0^2 \cos(\omega_0 t + \varphi_0) = -\omega_0^2 x(t),

что тождественно удовлетворяет исходному уравнению.

> [!example] Пример:

> Если пружинный маятник отклонить вправо на \( 0{,}02 \ \text{м} \) и отпустить без начальной скорости, то \( A = 0{,}02 \ \text{м} \), \( \varphi_0 = 0 \), и закон движения: \( x(t) = 0{,}02 \cos(\omega_0 t) \).

3. Основные параметры колебательного процесса

Ключевые характеристики гармонических колебаний сводятся в таблицу:

|----------|-------------|-------------|---------|

| Амплитуда | \( A \) | Максимальное отклонение от положения равновесия | м |

| Период | \( T \) | Время одного полного колебания | с |

| Частота (линейная) | \( f = \nu \) | Число полных колебаний в единицу времени | Гц |

Связи между параметрами:

\omega_0 = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega_0}, \qquad f = \frac{1}{T}.

Для пружинного маятника:

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.

Энергетические характеристики (в отсутствие потерь):

Кинетическая энергия: \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \omega_0^2 A^2 \sin^2(\omega_0 t + \varphi_0) \).
Потенциальная энергия деформированной пружины: \( E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega_0 t + \varphi_0) \).
Полная механическая энергия (постоянна):

E_{\text{полн}} = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m \omega_0^2 A^2.

> [!critical] Ключевой факт:

> Дифференциальное уравнение гармонических колебаний \( \ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 \) имеет единственное решение в виде синусоидальной (косинусоидальной) функции с постоянной амплитудой. Основные параметры — амплитуда \( A \), циклическая частота \( \omega_0 = \sqrt{k/m} \), период \( T = 2\pi \sqrt{m/k} \), начальная фаза \( \varphi_0 \) — полностью определяются свойствами системы и начальными условиями.

---

Итог. Вывод дифференциального уравнения выполнен из второго закона Ньютона и закона Гука; общее решение описывает незатухающие гармонические колебания; циклическая частота зависит исключительно от жёсткости и массы, а амплитуда и начальная фаза — от начальных смещения и скорости.

Все вопросы раздела: Подготовка к экзамену по Физике, математике