Прямые и косвенные измерения. Примеры. Абсолютная и относительная погрешность измерений.

Физика, математика — СПбГПМУ, Педиатрический факультет

Прямые и косвенные измерения

Прямые измерения

Прямыми называются измерения, при которых искомое значение физической величины получают непосредственно с помощью измерительного прибора или путём непосредственного сравнения с мерой. Результат считывается с шкалы, цифрового индикатора или определяется прямым отсчётом.

> [!simple] Простыми словами: Вы измеряете то, что хотите узнать, напрямую — без формул и пересчётов.

Примеры в медицине:

• Измерение температуры тела ртутным или электронным термометром.
• Измерение артериального давления анероидным или ртутным сфигмоманометром (при прямом отсчёте показаний по шкале).
• Измерение роста с помощью ростомера.
• Определение массы тела на медицинских весах.
• Подсчёт частоты сердечных сокращений (ЧСС) или частоты дыхательных движений вручную.

Косвенные измерения

Косвенными называются измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной функциональной зависимости между ней и другими величинами, полученными прямыми измерениями. Результат вычисляется по формуле.

> [!simple] Простыми словами: вы измеряете несколько других параметров, а затем подставляете их в формулу, чтобы получить нужный результат.

> [!example] Пример: измерение объёма цилиндра по прямому измерению его высоты и диаметра.

Примеры в медицине:

• Вычисление индекса массы тела (ИМТ) по формуле , где (масса) и (рост) получены прямыми измерениями.
• Расчёт площади поверхности тела по формуле Мостеллера: , где (кг) и (см) — прямые измерения.
• Определение ударного объёма крови (УО) с помощью формулы Старра по эмпирическим данным, полученным прямым измерением артериального давления.
• Вычисление концентрации вещества в пробе по калибровочному графику после прямого измерения оптической плотности (спектрофотометрия) или интенсивности флуоресценции.
• Расчёт скорости кровотока при допплерографии: , где , , , — величины, полученные прямыми измерениями (либо заданы константами).

Абсолютная и относительная погрешность измерений

Абсолютная погрешность

Абсолютная погрешность () — это разность между измеренным значением величины () и её истинным значением (). Поскольку истинное значение неизвестно, на практике используют среднее арифметическое серии измерений () в качестве наиболее вероятного значения. Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина.

> [!formula] Формула абсолютной погрешности (простейший случай)

>

> где — единичный результат измерения, — истинное значение (или среднее арифметическое серии измерений).

> [!simple] Простыми словами: На сколько единиц вы ошиблись. Например, термометр показал 37,3 °C, а истинная температура 37,0 °C — абсолютная погрешность 0,3 °C.

Относительная погрешность

Относительная погрешность () — отношение абсолютной погрешности к истинному (или среднему) значению величины. Обычно выражается в процентах и характеризует качество (точность) измерения, независимо от абсолютной величины измеряемого параметра.

> [!formula] Формула относительной погрешности

>

> где — абсолютная погрешность, — истинное значение (или ).

> [!simple] Простыми словами: Какую долю от истинной величины составляет ошибка. Позволяет сравнить точность разных измерений (например, ошибка 1 мм для роста 2 м незначительна, а для диаметра капилляра 0,1 мм — катастрофична).

Пример расчёта:

• Прямое измерение массы тела: кг (среднее по серии), абсолютная погрешность кг.
• Относительная погрешность: .
• Косвенное вычисление ИМТ: . Погрешности прямых измерений массы и роста складываются (при независимых случайных погрешностях — квадратично, при систематических — линейно). Для грубой оценки относительная погрешность ИМТ равна сумме относительной погрешности массы и удвоенной относительной погрешности роста: .

Правила вычисления погрешностей косвенных измерений

Для величины , полученной по результатам прямых измерений с абсолютными погрешностями :

• Абсолютная погрешность (при малых, независимых, случайных погрешностях, часто упрощённо — методом границ):

• Относительная погрешность:

где — относительная погрешность -го прямого измерения.

> [!example] Пример: расчёт погрешности скорости при косвенном измерении

> Скорость , где — длина пути (прямое измерение), — время (прямое измерение). см, см, с, с.

> 1. Абсолютная погрешность: см/с.

> 2. Относительная погрешность: , или .

Применение в медицине

• В лабораторной диагностике нормируются допустимые относительные погрешности аналитических методов (например, для глюкозы — не более 5%, для гемоглобина — не более 2–3%). Это позволяет стандартизировать результаты между лабораториями.
• При оценке эффективности лечения (например, изменение ИМТ или площади тела) необходимо учитывать погрешность косвенного измерения, чтобы отличить значимые изменения от случайного разброса.
• В функциональной диагностике (УЗИ, допплерография) погрешность косвенных измерений скорости или объёмного кровотока определяет достоверность заключения.

> [!critical] Ключевой факт:

> Относительная погрешность является универсальной мерой точности, позволяющей сравнивать качество измерений величин разной размерности. Для косвенных измерений относительная погрешность результата равна сумме относительных погрешностей прямых измерений (при малых независимых погрешностях и линейной аппроксимации). Контроль относительной погрешности — основа стандартизации клинических анализов и инструментальных методов.

---

Итог. Прямые измерения дают значение непосредственно с прибора; косвенные — требуют вычислений по формуле. Абсолютная погрешность показывает разброс в единицах величины, относительная — в долях от значения. В медицинской практике именно относительная погрешность служит критерием пригодности метода и позволяет объективно оценивать достоверность результатов диагностики и лечения.

Все вопросы раздела: Подготовка к зачету по Физике, математике